已知：三角形ABC的三边长a,b,满足：1 a>b>c,a+c=2b,b是正整数，a^2+b^2+c^2=84.试求正整数b的值？

解：2b＝a＋c， 则4b^2=a^2+2ac+c^2，2ac=4b^2-a^2-c^2； ∵a>0，c>0，由均值不等式，a^2+c^2≥2ac，即a^2+c^2≥4b^2-a^2-c^2， 化简得a^2+c^2≥2b^2； ∵a^2+b^2+c^2=84，∴84≥2b^2+b^2=3b^2， 解得b^2≤28； ∵b是正整数，∴b可能的取值为5，4，3，2，1； 若b=3，则c<3，a<b+c<6， 则a^2+b^2+c^2<54&l