证明对任意正数a,b,c,有abc^3<=27((a+b+c)/5)^5
证明对任意正数a,b,c,有abc^3<=27((a+b+c)/5)^5
日期：2022-01-04 04:05:23 人气：1
这是Lagrange乘子法的典型应用。
考虑f(x,y,z)=x^2y^2z^6在条件x^2+y^2+z^2=5R^2下的最大值问题。只考虑x，y，z大于0的情况，设a是乘子，
令F(x,y,z,a)=f(x,y,z)+a(x^2+y^2+z^2--5R^2)，考虑偏导数为0的三个方程，容易得出结论：
x^2=y^2=z^2/3，于是容易知道最大值点在x=R，y=R，z=根号(3)R达到，即有
x^2y^2z^5<=R^2R^2(根号(3)R)^6=
考虑f(x,y,z)=x^2y^2z^6在条件x^2+y^2+z^2=5R^2下的最大值问题。只考虑x，y，z大于0的情况，设a是乘子，
令F(x,y,z,a)=f(x,y,z)+a(x^2+y^2+z^2--5R^2)，考虑偏导数为0的三个方程，容易得出结论：
x^2=y^2=z^2/3，于是容易知道最大值点在x=R，y=R，z=根号(3)R达到，即有
x^2y^2z^5<=R^2R^2(根号(3)R)^6=