从1至100这100个自然数任取51个,请问其中是否一定存在9个数,他们的最大公约数大于1

考虑把100内的正整数集合(设为U)分成以下4个集合： A：所有大于等于7的素数的集合并上1、49、77、91 B：属于U-A的所有5的倍数的集合 C：属于U-A-B的所有3的倍数的集合 D：属于U-A-B-C的所有2的倍数的集合 易知，属于U而不是2、3、5倍数的数必定是1、大于等于7的素数、或者7X7=49、7X11=77、7X13=91，所以A、B、C、D构成对U的分划。 现在，A有26个元素，所以如果要从U中选出51个数，那么要从B、C、D中选出25个数，那就必须在B、C、D的某一个中