证明紧集是有界闭集

首先对R^n来说，紧致性和列紧性是等价的概念（对一般的距离空间也是如此），具有这种性质的紧集又称为紧致-列紧集，证明紧集是有界闭集用列紧性的概念比较容易。用反证法，列紧性是说集合中的任意点列都有收敛于该集合中某点的子列，假设紧集A不是有界的，那么就存在点列xn使得||xn||>n，如果这点列有收敛于集合A中点a的子列xnk，即limxnk=a，那么这就和||xnk||>nk矛盾了；再假设紧集A不是闭的，那么就存在点列yn使得limyn=b不属于A，从而yn的任何子列也都收敛于b，yn也就不可能