本人单位的合同6月13号到期,自己未续签,到8月27号要辞职,还需要走30天的流程吗？

是不需要的。合同到期未续签但继续工作，双方就形成新的劳动关系。
单位应从第二个月起支付《劳动合同法》第八十二条规定的二倍的工资。
由于属于事实劳动关系，双方都可以随时解除：
单位解除时，除需要支付已工作期间的工资外，还需要支付合同到期未续签的经济补偿，以及解除事实劳动关系的经济补偿。
劳动者解除时，除可以得到已工作期间的工资外，还有权得到未续签劳动合同的经济补偿。